INTEGRACIÓN NUMÉRICA (Trapecio compuesto)

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Objetivo: resolver una integral con el método del trapecio compuesto.

El método del trapecio compuesto subdivide el intervalo de la integral para formar pequeños trapecios donde a calcular su área disminuye el grado de error en el calculo des área como se puede observar en el siguiente esquema.

            TRAPECIO COMPUESTO                 ERROR                 TRAPECIO SIMPLE

                              

La ecuación matemática para el calculo de la integral con el método de trapecio compuesto es:

EJEMPLO

Calcule el error de las diferentes ecuaciones.

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Objetivo: Aproximar una raíz por el método de trapecio.

El método de trapecio para el cálculo  del área bajo la curva utiliza la evaluación de la función  en sus limites inferior y superior  calculando el área del trapecio  formado por la función.

Integral entre los límites de b y a  f (x) = Integral f (X)

Integral entre los límites de b y a f (x) dx = [ b-a  / 2 ]  [ f(a) + f(b) ]

El método de trapecio  es recomendable para funciones lineales del primer grado obteniendo un porcentaje de error alto en las funciones trigonométricas y trascendentales.

EJEMPLO

Calcule el error porcentual de calculo de las siguientes integrales por el método de trapecio.

RAÍCES MATEMÁTICAS

RAÍCES MATEMÁTICAS

Objetivo: Raíces matemáticas con el método de la secante.

El método de la secante aproximar una raíz matemáticamente utilizando la pendiente de la recta secante de dos puntos donde existe un cambio de signos matemáticamente se expresa con la siguiente ecuación:

Xi + 1 = Xi – f (Xi) [Xi-1-Xi]  /  f (Xi-1) – f (Xi)

Vi – 1 = Valor inferior del intervalo

Vi = Valor superior del intervalo

Xi + 1 = Valor intermedio entre  Xi – 1 y Xi

EJEMPLO 

f(x)= 2x³ – 4x – 3 

Raíz= 1.697

RAÍCES MATEMÁTICAS

RAÍCES MATEMÁTICAS

Objetivo: Calcular una raíz utilizando el método de falsa posición.

Para calcular la raíz  matemática de una función  utilizando el método de falsa posición se utiliza la pendiente  de dos puntos establecidos (Xi , Xi+1) considerando punto fijo  y un punto móvil el cual tiende a aproximarse al valor de la raíz.

Se expresa con la siguiente ecuación:

Xr = XI+1 – f (Xi+1) * (Xi+1-Xi)  /  f (Xi+1) – f (Xi)

EJEMPLO

f(x)= 2x² + 4x -3

  x    f(x)

-3     -45

-2     -11

-1     -1

 0     -3

 1     -5   xi

 2      5   xi + 1

 3

La raíz es = 1.697

RAÍCES MATEMÁTICAS

RAÍCES MATEMÁTICAS

Objetivo: Calcular la raíz de una función  con el Método de Newton.

El método de Newton, calcula una raíz matemática a partir del valor de la variable  independiente sin importar  el cambio de signos, principalmente se utiliza un valor menos a la raíz.

La evaluación matemática para el cálculo de una raíz utilizando el método de Newton es;

Xn+1 = Xn – f (n) / f (n) 

EJEMPLO

Calcule la raíz matemática de la función:  f(x)= x³ + 3x + 1

Raíz  en  milésimas es -1.879

RAÍCES DE CHERYCHEV

RAÍCES DE CHERYCHEV

Objetivo: Identificar los nodos para interpolar  un polinomio

Para identificar los puntos en los que debe evaluarse un polinomio se realiza una distribución homogénea de los intervalos encontrados. La proporción para el cálculo de las abscisas con la siguiente ecuación.

Xn = Cos ( 2n + 2 / 2n ) π

Para calcular la posición de los nodos considerando el intervalo que se van a utilizar se aplica la siguiente expresión.

Xnb = ½ [b-a] Xn + b + a

EJEMPLO

A partir de la función f(x) = x ln x² indique la posición de los nodos y su valor en un intervalo de 1 a 4 considerando un polinomio de grado 4.

                                                         a=1 b=4 n=4

RAÍCES MATEMÁTICAS

RAÍCES MATEMÁTICAS

Objetivo: Calcular la raíz de una función  utilizando el método de bisección.

Cuando se tienen funciones de grado mayor a dos, los métodos algebraicos se complican y es recomendable utilizar los métodos  numéricos para su cálculo.

El método de bisección  realiza una aproximación de la raíz  dividiendo por la mitad  al intervalo donde exista  un cambio de signo. Utilizando una tabla que permita  identificar los valores de los intervalos en donde se encuentra la raíz. Gráficamente se representa.  

Matemáticamente se calcula, considerando los limites (a,b) donde debe existir un cambio de signos en (f(a) , f(b) ).

Se calcula el valor intermedio ( a+b / 2) y su valor en la función ( f (a+b) / 2 ) registrando los valores en la primer fila de una tabulación; la segunda fila debe elegir el punto medio del intervalo (a+b / 2) y el límite a ó b que conserve el cambio de signos. Continuando con estos pasos hasta obtener una aproximación en f ( a+b / 2 ) con cero determinando el número de decimales.

Obtener el mismo valor en A y B con número de decimales.

EJEMPLO

Indique la raíz matemática de la función en intervalo.  f(x)= x³ + x - 1

Raíz 0.682

MÉTODO DE HERMITE

MÉTODO DE HERMITE

Para encontrar el polinomio de interpolación de n puntos y su derivado se utiliza el método de Hermite  que aplica el método de Newton  colocando doble el valor de los nodos y sustituyendo el valor de la derivada donde se produzcan indeterminaciones.

EJEMPLO

x    f(x)    f´(x)

1       2        1

3       3        2  

5       5        3