ECUACIONES DIFERENCIALES

O. Graficar la solución particular de una E.D. Ordinaria  con el método de Euler 

Una ecuación diferencial  es aquella que al resolver obtiene como resultado a una función, la ecuación particular depende de alguna condición inicial o el punto por donde se desea cruce la trayectoria en el plano.

El método de Euler aplica la siguiente ecuación para encontrar la solución particular de una ecuación diferencial.

Graficar la solución  de la Siguiente ecuación considerando la condición inicial  Y (1) = 4    con un incremento H= 0.1   6 puntos.

SISTEMA DE ECUACIONES

O. Aplicaciones de sistemas de ecuaciones de “nxn”

Un modelo matemático representa situaciones cotidianas mediante ecuaciones e incógnitas resolviendo dicho modelo se puede obtener un valor cuantitativo como muestran los ejemplos.

Omar compró un refresco  y una quesadilla con $25°° . Al día siguiente él lo invito a comer  y compraron 4 refrescos  y 6 quesadillas pagando $130°°

¿Cuál era el costo de cada producto?

MÉTODO DE GAUSS

O. Resolver sistemas de ecuaciones con el método de Gauss

El método de Gauss resuelve sistemas de ecuaciones de “nxn” convirtiendo una matriz formada por los coeficientes del sistema en matriz unitaria.

Una matriz unitaria se define como aquella matriz formada por unos y ceros donde los pivotes son la intersección de la fila y la columna del mismo valor.

Algoritmo de solución

1.     1.-Se forma una matriz con los coeficientes de sistema de ecuaciones y se elige el primer pivote de a intersección  de la fila 1 y la columna 1, en caso de no ser unitaria se debe dividir a toda la fila entre el valor del pivote.

2.-Se debe convertir los valores restantes de la columna en cero utilizando para cada fila la siguiente ecuación. 

1.       3.-Se repiten los pasos anteriores cambiando el pivote por la intersección de la columna 2 y fila 2.

2       4.- Los resultados se obtienen de la última columna de la matriz 

DERIVADA NUMÉRICA

O. Resolver problemas de aplicación de derivación numérica

La derivación con intervalos centrados  realiza un incremento y decremento del valor inicial con respecto al tamaño (h) matemáticamente se calculo con las siguientes ecuaciones.

La derivada de una función con respecto al tiempo representa físicamente la velocidad de un móvil, la segunda derivada con respecto al tiempo representa la aceleración.

DERIVACIÓN NUMÉRICA

La derivada se define como el cálculo de la pendiente de una recta tangente en una trayectoria, para su cálculo se considera un incremento que tiende a 0

En métodos numéricos se aproxima su valor mediante la evaluación, el grado de precisión depende de la tendencia a 0 de cada incremento,

Existen 3 métodos numéricos para calcular una derivada:

               

A)     Diferencias a la izquierda

En este método el valor deseado se encuentra  la izquierda y se aplica a la siguiente ecuación

 

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

O.  Resolver una integral con el método de Simpson 3/8

El método de Simpson 3/8  realiza una aproximación del área bajo la curva mediante la división de intervalo en tres partes iguales (H), la ecuación matemática para su cálculo es:

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

O. Resolver una integral por el método de Simpson 1/3 Compuesto

El método de Simpson 1/3 compuesto subdivide los intervalos en “N” partes iguales aproximando el área bajo la curva con la sumatoria de la función en sus subdivisiones utilizando la siguiente ecuación:

Calcule el valor de la integral:

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

O. Resolver una integral con el método de trapecio compuesto 

El método del Trapecio compuesto subdivide el intervalo de la integral para formar pequeños trapecios, donde al calcular su área disminuye su grado de error en el cálculo del área como se puede observar en el siguiente esquema.

La ecuación matemática  para el cálculo de la integral con el método del trapecio compuesto es:

Ejemplo: Calcular el error de la siguiente integrante

 

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

O. Resolver problemas de aplicación con el método de Trapecio y Simpson

En el área bajo la curva analiza el total de información de un proceso analizado en un intervalo delimitado, el cálculo del área bajo la curva se puede resolver mediante el número de intervalos que se tengan en un proceso.

                Un intervalo = Trapecio Simple

                Dos Intervalos = Simpson 1/3

                Tres intervalos = Simpson 3/8

En estadística el área bajo la curva puede representar el número total de posibilidades de un evento, en economía las ventas o ganancias obtenidas en un periodo de tiempo como se muestra en el siguiente esquema:

Ejemplo: Las ventas anuales reportadas por la empresa “X” son:

AÑO                      VENTAS

1990                      12,000

1993                      15,500

Indicar el total de ventas que se obtuvo en dicho periodo.

INTEGRACIÓN NUMÉRICA (Trapecio compuesto)

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Objetivo: resolver una integral con el método del trapecio compuesto.

El método del trapecio compuesto subdivide el intervalo de la integral para formar pequeños trapecios donde a calcular su área disminuye el grado de error en el calculo des área como se puede observar en el siguiente esquema.

            TRAPECIO COMPUESTO                 ERROR                 TRAPECIO SIMPLE

                              

La ecuación matemática para el calculo de la integral con el método de trapecio compuesto es:

EJEMPLO

Calcule el error de las diferentes ecuaciones.

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Objetivo: Aproximar una raíz por el método de trapecio.

El método de trapecio para el cálculo  del área bajo la curva utiliza la evaluación de la función  en sus limites inferior y superior  calculando el área del trapecio  formado por la función.

Integral entre los límites de b y a  f (x) = Integral f (X)

Integral entre los límites de b y a f (x) dx = [ b-a  / 2 ]  [ f(a) + f(b) ]

El método de trapecio  es recomendable para funciones lineales del primer grado obteniendo un porcentaje de error alto en las funciones trigonométricas y trascendentales.

EJEMPLO

Calcule el error porcentual de calculo de las siguientes integrales por el método de trapecio.

RAÍCES MATEMÁTICAS

RAÍCES MATEMÁTICAS

Objetivo: Raíces matemáticas con el método de la secante.

El método de la secante aproximar una raíz matemáticamente utilizando la pendiente de la recta secante de dos puntos donde existe un cambio de signos matemáticamente se expresa con la siguiente ecuación:

Xi + 1 = Xi – f (Xi) [Xi-1-Xi]  /  f (Xi-1) – f (Xi)

Vi – 1 = Valor inferior del intervalo

Vi = Valor superior del intervalo

Xi + 1 = Valor intermedio entre  Xi – 1 y Xi

EJEMPLO 

f(x)= 2x³ – 4x – 3 

Raíz= 1.697

RAÍCES MATEMÁTICAS

RAÍCES MATEMÁTICAS

Objetivo: Calcular una raíz utilizando el método de falsa posición.

Para calcular la raíz  matemática de una función  utilizando el método de falsa posición se utiliza la pendiente  de dos puntos establecidos (Xi , Xi+1) considerando punto fijo  y un punto móvil el cual tiende a aproximarse al valor de la raíz.

Se expresa con la siguiente ecuación:

Xr = XI+1 – f (Xi+1) * (Xi+1-Xi)  /  f (Xi+1) – f (Xi)

EJEMPLO

f(x)= 2x² + 4x -3

  x    f(x)

-3     -45

-2     -11

-1     -1

 0     -3

 1     -5   xi

 2      5   xi + 1

 3

La raíz es = 1.697

RAÍCES MATEMÁTICAS

RAÍCES MATEMÁTICAS

Objetivo: Calcular la raíz de una función  con el Método de Newton.

El método de Newton, calcula una raíz matemática a partir del valor de la variable  independiente sin importar  el cambio de signos, principalmente se utiliza un valor menos a la raíz.

La evaluación matemática para el cálculo de una raíz utilizando el método de Newton es;

Xn+1 = Xn – f (n) / f (n) 

EJEMPLO

Calcule la raíz matemática de la función:  f(x)= x³ + 3x + 1

Raíz  en  milésimas es -1.879

RAÍCES DE CHERYCHEV

RAÍCES DE CHERYCHEV

Objetivo: Identificar los nodos para interpolar  un polinomio

Para identificar los puntos en los que debe evaluarse un polinomio se realiza una distribución homogénea de los intervalos encontrados. La proporción para el cálculo de las abscisas con la siguiente ecuación.

Xn = Cos ( 2n + 2 / 2n ) π

Para calcular la posición de los nodos considerando el intervalo que se van a utilizar se aplica la siguiente expresión.

Xnb = ½ [b-a] Xn + b + a

EJEMPLO

A partir de la función f(x) = x ln x² indique la posición de los nodos y su valor en un intervalo de 1 a 4 considerando un polinomio de grado 4.

                                                         a=1 b=4 n=4

RAÍCES MATEMÁTICAS

RAÍCES MATEMÁTICAS

Objetivo: Calcular la raíz de una función  utilizando el método de bisección.

Cuando se tienen funciones de grado mayor a dos, los métodos algebraicos se complican y es recomendable utilizar los métodos  numéricos para su cálculo.

El método de bisección  realiza una aproximación de la raíz  dividiendo por la mitad  al intervalo donde exista  un cambio de signo. Utilizando una tabla que permita  identificar los valores de los intervalos en donde se encuentra la raíz. Gráficamente se representa.  

Matemáticamente se calcula, considerando los limites (a,b) donde debe existir un cambio de signos en (f(a) , f(b) ).

Se calcula el valor intermedio ( a+b / 2) y su valor en la función ( f (a+b) / 2 ) registrando los valores en la primer fila de una tabulación; la segunda fila debe elegir el punto medio del intervalo (a+b / 2) y el límite a ó b que conserve el cambio de signos. Continuando con estos pasos hasta obtener una aproximación en f ( a+b / 2 ) con cero determinando el número de decimales.

Obtener el mismo valor en A y B con número de decimales.

EJEMPLO

Indique la raíz matemática de la función en intervalo.  f(x)= x³ + x - 1

Raíz 0.682

MÉTODO DE HERMITE

MÉTODO DE HERMITE

Para encontrar el polinomio de interpolación de n puntos y su derivado se utiliza el método de Hermite  que aplica el método de Newton  colocando doble el valor de los nodos y sustituyendo el valor de la derivada donde se produzcan indeterminaciones.

EJEMPLO

x    f(x)    f´(x)

1       2        1

3       3        2  

5       5        3        

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
Objetivo: Cuantificar el polinomio de interpolación con el Método de Newton

El polinomio de interpolación lineal                                    conocido como diferencias divididas, utiliza el siguiente polinomio para identificar la función.

• Pn(x)=Y1+Y1Y2(X-X1)   +   Y1Y2Y3(X-X1)(X-X2)   +   Y1Y2Y3Y4(X-X1)(X-X2)(X-X3).......

Se conocen como diferencias divididas por que utiliza la siguiente ecuación.

La tabulación que se utiliza para el calculo de los coeficientes es la siguiente

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
Objetivo: Resolver problemas de pronósticos usando el método de Lagrange

La interpolación polinomial se puede aplicar para la solución de pronósticos encontrando el polinomio que represente de mejor manera el comportamiento del problema, utilizando los datos como nodos para el desarrollo del polinomio.

Algoritmo

• ·         Identificamos el total de datos con su respectiva información.

o   Cada dato representa un numero consecutivo

• ·         Sustituir valores en nuestra fórmula, y realizamos nuestras operaciones correspondientes.

o   Los números en rojo se eliminarán para evitar error

• ·         Multiplicamos por nuestro valor en “y”, por las ventas que corresponden a cada información:

o   Comprobamos con respecto al primer dato:

o   Vemos que es correcto.

• ·         Sustituimos nuestro valor del dato requerido en la ecuación
• ·         Obtenemos el resultado

INTERPOLACIÓN LINEAL

INTERPOLACIÓN LINEAL
Objetivo: Resolver la interpolación de varios puntos aplicándolo al método de Lagrange


La interpolación se define como la búsqueda  de la relación existente entre varios puntos, la variación que existe entre la unión de los puntos depende del numero de nodos que se utilicen o del grado de precisión de cada un de los métodos.

El método de lagrange utiliza un polinomio formado por la siguiente ecuación:

•  Pn(x) = Y1l1+Y2l2+Y3l3+.......+ Yn-1 ln-1+ Yn ln

Los coheficientes L se calculan realizando operaciones algebraicas aplicando las siguientes formulas:

Nota: Las operaciones en rojo no se realizarán

                                                                  Algoritmo

• ·         Sustituir valores en nuestra ecuación
• ·         Eliminamos las cifras en rojo para que no marque error, y resolvemos las operaciones que corresponden.
• ·         Separamos cada término por el divisor, y multiplicándolo por los valores de “y”
• ·         Obtenemos resultados

NÚMEROS DE COMPUTADORA

NÚMEROS DE COMPUTADORA
Objetivo: Resolver operaciones con números de diferentes bases

Los números cuentan con un valor cuantitativo que depende de su valor nominal o posicional, el valor absoluto se cuenta como dígito y el posicional considera una agrupación sucesiva.

                                                  1,435
               Tomando en cuenta el número cuatro, su valor Absoluto es el "4" y
                                                                             su valor posicional es el "400".


Para convertir cualquier número de diferente base al sistema decimal se debe multiplicar el valor absoluto de cada dígito por la potencia según su posición.

Algoritmo
                             DE BINARIO A ECIMAL

• ·         Para convertir a sistema DECIMAL colocamos nuestro número binario y vamos a multiplicar 2 a la 0 potencia por el numero binario, la operación se realiza de derecha a izquierda y las potencias irán de 0 a n
• ·         Sumaremos los valores obtenidos.
• ·         El resultado será el total de la suma anterior
•       Para convertir un número de base diez a cualquier base se debe realizar una división sucesiva colocando el residuo de cada división en forma inversa para formar  el número en una base deseada.

                                     DE OCTAL A DECIMAL

• ·         Para convertir a sistema decimal  se colocaran números “8” dependiendo el número de dígitos que ocupe nuestra cantidad.
• ·         Colocaremos potencia en los 8 iniciando desde 0 de izquierda a derecha
• ·         Multiplicaremos con los dígitos de la cantidad colocando un numero después de cada 8 ( los números de la cantidad los utilizaremos de derecha a izquierda) (los números 8 los utilizaremos de izquierda a derecha)
• ·         La cantidad obtenida de a operación será nuestro resultado

                                  DE SEXAGESIMAL A DECIMAL

• ·         Tomando en cuenta el sistema sexagesimal como se muestra en el ejemplo:
• ·         Sustituiremos las letras por los números correspondientes
• ·         Para convertir a sistema decimal  se colocaran números “16” dependiendo el número de dígitos que ocupe nuestra cantidad.
• ·         Colocaremos potencia en los 16 iniciando desde 0 de izquierda a derecha
• ·         Multiplicaremos con los dígitos de la cantidad colocando un numero después de cada 16
• ·         Realizamos las operaciones y obtendremos el resultado

Algoritmo

• ·         Para convertir de sistema decimal a binario, necesitamos dividirlo entre dos, hasta que ya no se pueda dividir.
• ·         Ahora para obtener nuestro valor en binario el residuo lo acomodamos de derecha a izquierda.
• ·         Fin